Mines Ponts Maths PSI

Énoncés, corrigés et rapports des épreuves écrites de mathématiques PSI posées au
Concours Commun Mines Ponts depuis 1997

SessionsProgrammes Maths : PCSI | PSI

2017 []

Maths IMarche aléatoire dans un labyrinthe
Un labyrinthe est constitué de cinq salles, numérotées de 1 à 5, qui communiquent par des tubes…

Maths IIEndomorphismes échangeurs
L’objectif du problème est d’établir, pour un endomorphisme u d’un C-espace vectoriel E de dimension finie, l’équivalence entre les conditions suivantes…

2016 []

Maths IMarche aléatoire : retour à 0
Le sujet porte sur la marche aléatoire symétrique et notamment l’étude de la loi du temps de retour en 0, en utilisant un théorème taubérien pour quantifier certaines vitesses de convergence.

Maths IIMatrices quasi-nilpotentes
Ce problème est consacré à la notion de matrice quasi-nilpotente, connue dans la littérature scientifique récente sous le vocable de matrice à spectre trivial. Ce thème, lié à l’étude des sous-espaces affines de matrices carrées inversibles, a connu de nombreux développements récents. Le sujet se propose, après l’étude de quelques exemples, de démontrer l’inégalité (QN), établie indépendamment par Rachel Quinlan en 2011 et Clément de Seguins Pazzis en 2007. Il reproduisait la preuve de ce dernier, de nature essentiellement combinatoire.

2015 []

Maths IMéthode de Stein
Cette épreuve de 3 heures porte sur la méthode de Stein. Elle fait appel à des résultats d’analyse sur les séries et au cours de probabilités. Elle a fait apparaître des lacunes pour une majorité des candidats sur l’étude de la convergence de séries et sur l’obtention de majoration.

Maths IIMatrices symplectiques
Ce problème porte sur les matrices symplectiques et le groupe symplectique.
Dans la partie « Notations », l’énoncé introduit les notations utiles pour la résolution du problème, et rappelle quelques techniques usuelles de calcul relatives aux matrices découpées par blocs.
La première partie introduit le groupe symplectique et en étudie ses propriétés usuelles.
La seconde partie étudie le centre du groupe symplectique.
La troisième partie étudie la valeur du déterminant d’une matrice symplectique.
Ce problème exige une bonne habileté en calcul matriciel, et une bonne connaissance du cours d’algèbre linéaire et bilinéaire.

2014 []

Maths ISomme de projecteurs orthogonaux
Cette épreuve de trois heures d’algèbre porte sur les projecteurs, les projecteurs orthogonaux avec les propriétés de positivité et de symétrie. Les questions de 1 à 9 sont très proches du contenu du programme. Le sujet recèle de questions plus ardues, en particulier les questions 16 et 18. Comme assez souvent, les dernières questions sont une simple lecture de sujet et permettent aux candidats ayant une vision d’ensemble de récupérer quelques points.
L’erreur de compréhension principale pour ce sujet a été de confondre projecteur orthogonal et endomorphisme orthogonal (le seul endomorphisme vérifiant ces deux propriétés étant bien sûr l’identité).

Maths IIRacine de l’opposé du Laplacien et Équation de la chaleur généralisée
Ce problème porte sur la racine de l’opposé du Laplacien et l’équation de la chaleur généralisée.
La première partie concerne des séries de Fourier et introduit la notion d’opérateur différentiel. La seconde partie introduit un opérateur différentiel, étudie ses propriétés, en particulier une équation différentielle. La troisième partie en établit une représentation intégrale. La quatrième partie étudie les propriétés relatives aux conditions initiales. La cinquième partie introduit une fonction « énergie ».
Ce problème exige une solide maîtrise des techniques portant sur les séries de fonctions et les intégrales ainsi qu’une bonne connaissance du cours sur les séries de Fourier. Il faut, à plusieurs reprises, justifier avec soin l’interversion d’une série et d’une intégrale. Il faut aussi bien comprendre la structure logique de l’énoncé, et savoir utiliser les résultats établis pour la résolution des questions ultérieures. Les questions 3 et 4 sont essentielles et interviennent directement pour la résolution des questions 6, 7, 9, 10, 13, 14, 18 et 20. Il faut lire attentivement l’énoncé, car les hypothèses de la question 6 ne sont plus vérifiées pour les questions 7, 8, 9, où la fonction f est seulement supposée continue.

2013 []

Maths ILe flot de Toda
Cette épreuve de trois heures aborde des domaines mathématiques variés. Elle combine algèbre (opération matricielle et réduction) et analyse (équation différentielle, étude de fonction, intégrabilité,…).

Maths IILa formule du triple produit de Jacobi
Ce problème porte sur la formule du triple produit de Jacobi. Ce produit a des applications dans de nombreuses preuves. Il permet de transformer des sommes infinies en produits infinis, ce qui en facilite la manipulation et permet des calculs plus aisés. Il a également des applications en arithmétique, comme le propose le problème dans la partie III.
Ce sujet fait intervenir des suites, des séries, des séries entières, de l’analyse classique et du dénombrement. La plupart des questions de ce sujet portent sur des mathématiques très classiques.

2012 []

Maths ILe sinus lemniscatique
Le problème a pour objectif la preuve de la formule de Fagnano, mathématicien du 18ème siècle qui inaugurait avec elle la théorie des fonctions elliptiques. Il s’agit donc de mathématiques très classiques.

Maths IIFonctions d’endomorphismes
L’objet proposé dans de cette épreuve est l’étude de la notion de fonction d’endomorphisme, définie dans un certain cadre.
Dans la première partie, on étudie un certain nombre de propriétés des endomorphismes symétriques et des fonctions de tels endomorphismes.
Dans la seconde partie, on étudie la relation d’ordre de Löwner sur l’ensemble des endomorphismes symétriques de Rn et la croissance de certains opérateurs associés à des fonctions réelles d’une variable réelle.
Dans la troisième partie, on étudie encore la croissance de certains opérateurs, l’intégrabilité de fonctions définies sur R*+ à valeurs dans l’ensemble des endomorphismes de Rn et l’inégalité de Löwner-Heinz.
Ce problème demande une bonne maîtrise de plusieurs parties du cours : algèbre générale, algèbre linéaire, algèbre bilinéaire, analyse réelle, intégration des fonctions sur un intervalle.

2011 []

Maths IInégalité de Prékopa et Leindler
Le sujet permet d’établir en dimensions 1 et 2 l’inégalité intégrale de Prékopa et Leindler, avec applications aux fonctions log-concaves. Le cadre est restreint aux fonctions continues sur R ou R2. La fin du problème élabore un lien avec la notion d’aire d’un ouvert borné plan, avec une extension de l’inégalité « P-L » dans la dernière question.
La résolution de ce problème repose en grande partie, et ce dès le début, sur la gestion d’inégalités (en particulier de convexité).

Maths IICourse-Poursuite
Le sujet posé à cette épreuve propose d’étudier un problème de Cauchy, représentant une course poursuite entre un lièvre et une tortue (indications fournies dans l’énoncé pour la bonne compréhension du problème).
L’équation étudiée dans ce problème a été introduite par Loewner et elle joue un rôle important dans diverses branches des mathématiques (analyse complexe, processus stochastiques). Ce problème demande une bonne maîtrise de nombreux points du cours : théorèmes classiques de l’analyse réelle, dérivation, intégration, équations différentielles linéaires du premier ordre et problèmes de Cauchy. Il demande aussi une bonne maîtrise des techniques de calcul en analyse.

2010 []

Maths IThéorème de la Limite Centrale
Le sujet concerne la démonstration d’une version allégée du « théorème centrale-limite » bien connu et utilisé en probabilités.

Maths IIDéterminants et formule de condensation
Ce sujet propose de démontrer la formule de Desnanot-Jacobi, dite aussi formule de condensation, et d’en explorer les applications et généralisations. Il porte sur l’algèbre linéaire et multilinéaire, et les espaces vectoriels normés. Il demande une bonne maîtrise de certains points du cours : les techniques de calcul des déterminants, les propriétés de la matrice complémentaire d’une matrice, les techniques de changement de bases. Il faut étudier l’algorithme de calcul des déterminants de Lewis Carroll et en évaluer la performance.

2009 []

Maths IÉtude spectrale d’un opérateur de transfert
Le sujet portait sur l’étude dans l’espaces C0 des fonctions continues et 1-périodiques d’un opérateur de transfert dans le but de mettre en évidence la propriété de « trou spectral ».
Un sujet intéressant, plein de questions à difficultés plus que raisonnables, combinant à la fois l’algèbre et l’analyse.
Sans être exhaustif, citons les thèmes principalement abordés :
• les fonctions continues et 1-périodiques
• les raisonnements par récurrence
• les espaces vectoriels normés
• la stabilité d’un sous-espace par un endomorphisme
• la projection sur une droite parallèlement à un hyperplan
• les sous-espaces vectoriels engendrés par les fonctions trigonométriques
• la recherche des valeurs propres et diagonalisation, puissance et noyau d’un endomorphisme
• les transformations de Fourier
• la convergence d’une série de fonctions
• décomposition et majoration des intégrales

Maths IIAspects déterministes de l’étude des matrices aléatoires
Le problème posé à cette épreuve porte sur l’étude des aspects déterministes des matrices aléatoires. Il porte sur l’algèbre linéaire, le calcul différentiel et intégral. Il demande une maîtrise approfondie du programme : algèbre linéaire et multilinéaire, calcul différentiel à une et plusieurs variables, calcul intégral, équations différentielles. Il faut maîtriser divers résultats du cours : la formule de Leibnitz, les théorèmes concernant les développements en série entière, la méthode de variation des constantes, l’inégalité de Cauchy-Schwarz, les inégalités conservées par intégration, les techniques de calcul des déterminants.

2008 []

Maths ITranslations dans des espaces de fonctions

Maths IIÉquation de la chaleur en dimension 2
Le problème posé dans cette épreuve porte sur la résolution de l’équation de la chaleur en dimension 2. Il porte sur le calcul différentiel et intégral, et sur les séries de Fourier. Il demande une maîtrise approfondie du programme : différentiation de fonctions, dérivation d’une intégrale dépendant d’un paramètre, fonctions de plusieurs variables, séries de fonctions, séries de Fourier, éléments de topologie.
Il faut maîtriser certains résultats du cours : théorème de convergence dominée, formule de Parseval, théorème d’intégration terme à terme.

2007 []

Maths IPseudo-inverse et matrice stochastique
Le problème porte sur l’étude de la limite d’une suite de matrices. Le sujet est de longueur et de difficulté moyennes.
Les sujets abordés font intervenir le programme d’algèbre mais aussi de la topologie.

Maths IIMajoration de polynômes trigonométriques
Le problème posé dans cette épreuve porte sur le calcul différentiel et intégral. Il demande une maîtrise approfondie du programme : différentiation de fonctions, dérivation d’une intégrale dépendant d’un paramètre, fonctions de plusieurs variables, recherche des extremums d’une fonction, propriété des valeurs intermédiaires, orthogonalité de fonctions pour un produit scalaire, éléments de topologie.

2006 []

Maths ISystèmes différentiels liés à certaines fonctions hypergéométriques
Le problème demande de rechercher la solution générale de systèmes différentiels ou d’équations différentielles liés à certaines fonctions hypergéométriques.
Ce texte aborde uniquement des questions du programme d’Analyse, essentiellement les théorèmes sur les intégrales à paramètres, les séries entières et demande une bonne compréhension de techniques permettant de trouver des équivalents, des limites et des majorations d’intégrales.

Maths IIMatrices positives – Ordre de Löwner – Fonctions matriciellement croissantes
Le problème posé à cette épreuve est essentiellement centré sur l’algèbre linéaire et bilinéaire, avec quelques incursions dans le domaine de l’analyse. Le sujet est d’une bonne longueur, et le niveau de difficulté des questions est variable. Il y a des questions très faciles, d’autres de niveau moyen, et d’autres qui, sans être très difficiles, exigent une certaine réflexion, du soin, et une rédaction rigoureuse.

2005 []

Maths IThéorie du transport optimal
Le sujet traite d’un aspect particulier de la théorie du transport optimal. Précisément, il s’agit de majorer le coût du transport optimal par l’entropie de Boltzmann.
Les principaux ingrédients sont la théorie des fonctions réelles de la variable réelle et la théorie des intégrales impropres (condition de convergence, intégration par parties, changement de variables).

Maths IISupplémentaire d’un sous-espace vectoriel dans un espace vectoriel
Le problème posé à cette épreuve propose d’étudier des applications de la notion de supplémentaire d’un sous-espace vectoriel dans un espace vectoriel, et d’applications de cette notion en algèbre linéaire, en analyse, et en géométrie.
Le sujet est d’une longueur raisonnable, et le niveau de difficulté des questions est variable. Il y a des questions très faciles, d’autres de niveau moyen, et d’autres qui, sans être très difficiles, exigent une certaine réflexion, du soin et de la rigueur.

2004 []

Maths ISéries entières – Calculs probabilistiques de moyenne et de variance
Le problème propose des calculs probabilistiques de moyenne et de variance, le cadre se situant dans le langage des séries entières. Il faut notamment conceptualiser l’application U → Û.

Maths IISuites réelles et matricielles
Le problème posé à cette épreuve propose d’étudier des suites réelles et matricielles.
Le sujet est d’une longueur raisonnable, et le niveau de difficulté des questions est modéré. Il y a un nombre limité de questions un peu plus difficiles (N° 7, 11, 12, 16, 18).

2003 []

Maths IÉquation différentielle linéaire du second ordre avec conditions aux limites
L’objectif du problème est l’étude de solutions d’une équation différentielle linéaire du second ordre avec conditions aux limites.
Dans la première partie, on donne une représentation intégrale d’une solution, et une condition nécessaire est obtenue pour avoir une solution non nulle. Dans la seconde partie, la fonction de Green G est introduite, et permet l’obtention de solutions 2 – périodiques.
Ce devoir d’analyse, de longueur raisonnable, ne présente pas de difficultés majeures ; il nécessite une bonne assimilation des techniques de base d’analyse réelle, ainsi que des connaissances portant sur la convergence uniforme et les séries de Fourier.

Maths IIIsomorphisme
Le problème posé à cette épreuve propose d’étudier un isomorphisme entre le groupe des déplacements de l’espace de la géométrie affine euclidienne et un groupe formé de couples de matrices.
Le sujet est d’une bonne longueur, et porte sur l’algèbre générale, l’algèbre linéaire et la géométrie affine euclidienne. Il exige une bonne connaissance du cours, comporte des questions théoriques de niveau de difficulté variable, et des questions techniques qui exigent un certain soin dans les calculs.

2002 []

Maths ISéries entières – Développement limité – Séries de Fourier
La première partie du problème concerne l’étude de séries entières Σ unxn où un = f (1)..f (1/n).

Maths IIApproximation des solutions réelles d’une classe d’équa. diff. linéaires du 2° ordre
Le problème posé à cette épreuve propose d’étudier l’approximation des solutions réelles d’une classe d’équations différentielles linéaires du second ordre.
Le sujet est d’une bonne longueur, et porte sur l’analyse et sur l’algèbre linéaire. Il comporte aussi bien des questions théoriques de niveau de difficulté variable que des questions plus techniques qui exigent un certain soin dans les calculs.

2001 []

Maths ICo-Réduction d’une application semi-linéaire définie sur un C-espace vectoriel E
Le problème proposé porte sur la co-réduction d’une application semi-linéaire définie sur un C-espace vectoriel E de dimension finie, à valeurs dans E. Pour cela, les notions de valeur co-propre, vecteur co-propre, co-diagonalisabilité sont définies. Un lien est établi entre les valeurs co-propres de la matrice A et les valeurs propres de ; il est ensuite demandé de montrer une condition nécessaire de co-diagonalisabilité, et pour terminer quelques exemples sont proposés pour illustrer ces notions. La co-réduction est une notion assez ancienne puisque Takagi a montré en 1925, qu’une matrice symétrique complexe est co-diagonalisable.
La résolution de ce problème nécessite une bonne connaissance du cours et des techniques de base d’algèbre linéaire.

Maths IIÉtude des solutions d’une équation différentielle linéaire du second ordre
Le problème posé à cette épreuve propose d’étudier les solutions d’une équation différentielle linéaire du second ordre.
Le sujet est d’une bonne longueur, et exige une bonne technicité et une certaine efficacité pour des questions très classiques relatives :
– aux séries entières : coefficients, convergence, développements des fonctions usuelles
– à l’intégrabilité des fonctions et au calcul des intégrales
– aux fonctions de plusieurs variables.

2000 []

Maths IQuaternions
Le sujet concerne les quaternions.

Maths IIÉtude de quelques propriétés de certaines équations différentielles
Le problème posé à cette épreuve propose d’étudier quelques propriétés de certaines équations différentielles.

1999 []

Maths IÉtude de la fonction génératrice exponentielle d’une suite numérique (an)n≥o
L’objet du problème est l’étude de la fonction génératrice exponentielle d’une suite numérique (an)n≥o, obtenue de manière combinatoire.
Les connaissances requises portent sur les domaines suivants : analyse combinatoire et analyse réelle (manipulations d’inégalités, séries entières, et intégrabilité).

Maths IIÉtude de certaines propriétés de la transformée de Fourier d’une fonction
Le problème posé à cette épreuve propose d’étudier certaines propriétés de la transformée de Fourier d’une fonction.

1998 []

Maths IEnsemble des valeurs propres d’un opérateur différentiel du 2e ordre
Le problème porte sur la détermination de l’ensemble des valeurs propres d’un opérateur différentiel du 2e ordre.

Maths IIAlgèbre linéaire et bilinéaire, espaces vectoriels normés, équations différentielles
Le problème posé à cette épreuve propose des questions sur des thèmes variés : algèbre linéaire et bilinéaire, espaces vectoriels normés, équations différentielles.

1997 []

Maths ISuite de polynômes trigonométriques
ÉnoncéCorrigé 1[Rapport]

Maths IISuites
ÉnoncéCorrigé 1[Rapport]